智力题 (1)

抛不均匀的硬币

Q：一硬币，一面向上概率 0.7，一面 0.3，如何公平？

A：抛两次，正反 A 胜，反正 B 胜

先抛硬币的人赢的概率

Q：两个人轮流抛硬币，先抛到正面的赢，问先抛的人赢的概率？

A：先抛赢的概率是 1/2，后抛赢的概率是 1/2 * 1/2 = 1/4，所以先抛赢的概率是 2/3

两根 1 个小时烧完的香测量 15 分钟

Q：两根香，一根烧完 1 小时，如何测量 15 分钟？

A：先把第一根香两头点着，另一根只点一头，第一根香烧完后过去 30 分钟，然后把另一根香两头点着，烧完就过去了 15 分钟

海盗分金币

Q：有五个海盗，共同抢到了 100 枚金币，每个人按顺序依次提出自己的分配方案，如果提出的方案没有获得半数或半数以上的人的同意，则这个提出方案的人就被扔到海里喂鲨鱼，那么第一个提出方案的人要怎么做，才能使自己的利益最大化？

A：从后往前考虑，先考虑只剩 4 号和 5 号两个人的情况：

• 4 号自己同意就能通过，独吞全部金币。

4 号	5 号
100	0

三个人：

• 4 号肯定不会同意，因为只要 3 号死了，所有金币都是他的。
• 3 号可以给一个金币拉拢 5 号，5 号如果同意 3 号还有一个金币，不同意 3 号一个金币都拿不到，所以会同意 3 号。

3 号	4 号	5 号
99	0	1

四个人：

• 3 号肯定不同意，因为 2 号死了 99 个金币都是他的。
• 2 号可以给一个金币拉拢 4 号，也可以给两个金币拉拢 5 号。
• 5 号如果不同意 2 号也能拿到一个金币，所以必须给两个金币才能让 5 号同意 2 号。
• 4 号如果同意 2 号还有一个金币，不同意 2 号一个金币都拿不到 (5 号会同意)。

2 号	3 号	4 号	5 号
99	0	1	0

五个人：

• 2 号肯定不同意，因为 1 号死了 99 个金币都是他的。
• 1 号需要拉拢两个人，在 3/4/5 号中选，3 号和 5 号不同意都拿不到金币，4 号不同意能拿到一个金币，所以给 3 号和 5 号一个金币就能让他们同意 1 号。

1 号	2 号	3 号	4 号	5 号
98	0	1	0	1

Q：如果提出的方案需要半数以上的人同意才能通过 (不包含半数)，第一个人应该如何分配？

A：同样从后往前考虑，只剩两个人：

• 只要 5 号不同意，4 号就不能通过。
• 即使给 5 号全部金币，5 号由于 “心狠手辣” 的设定也会倾向于让 4 号死。
• 5 号不同意，然后独吞全部金币。

4 号	5 号
0	100

三个人：

• 4 号肯定同意，因为 3 号死了下一个死的就是他。
• 3 号不需要考虑 5 号，直接把金币都分给自己。

3 号	4 号	5 号
100	0	0

四个人：

• 3 号肯定不同意，因为 2 号死了所有金币都是他的。
• 2 号需要同时拉拢 4 号和 5 号两个人，但是由于 2 号死了他俩一个金币都得不到，所以只给一个金币就可以让他们同意 2 号。

2 号	3 号	4 号	5 号
98	0	1	1

五个人：

• 2 号肯定不同意，因为 1 号死了 98 个金币都是他的。
• 1 号还需要拉拢两个人，只需要比四个人的情况多一个金币即可，选择 3/4 号或 3/5 号。

1 号	2 号	3 号	4 号	5 号
97	0	1	2	0

1 号	2 号	3 号	4 号	5 号
97	0	1	0	2

选出跑得最快的马

Q：64 匹马，8 个跑道，选跑最快的 4 匹马需要比赛多少次？

A：首先每 8 匹马比赛一次，比赛 8 次，设为 A/B/C/D/E/F/G/H 组。

选出 8 次比赛中最快的马，比赛 1 次，假设前四名是 A1/B1/C1/D1。

E/F/G/H 组不用考虑了，因为都不可能排到前四。A1 也不用考虑，肯定是所有马中最快的。

需要考虑 A2/A3/A4、B1/B2/B3、C1/C2、D1，在这 9 匹马中选出前三名作为 2/3/4 名。

在 9 匹马中选 8 匹马，剩下的 1 匹马在 A4/B3/C2 中选，比赛 1 次。

如果比 A4/B3/C2 快的马没有拿到前两名 (名次 >=3)，那么剩下这匹马也不可能是前三名，否则还需要再比赛 1 次。

最终需要比赛 10 或 11 次。