智力题 (2)

台球入洞的角度

Q：坐标系中有一个球桌，四个角坐标：(0,0), (0,4), (2,4), (2,0)，一颗球在(1,1)，请问从哪些角度可以射入洞内（可无限次碰撞）？

A：把球桌在坐标系中无限复制，无限张球桌都紧密放置，则每一个与球洞的连线都是合法路径。

扑克牌平均分

Q：54 张扑克牌，平均分成 3 份，大小王在一份的概率？

A：每份 18 张牌，大王肯定在其中一份，这份还剩 17 张牌，除了大王还剩 53 张牌，所以 17 张牌中分到小王的概率是 17/53。

总分法：M = C(18, 54) * C(18, 36) * C(18, 18)

大小王在一份的分法：P = C(1, 3) * C(16, 52) * C(18, 36) * C(18, 18)

概率：P/M = 17/53

桌子上放硬币

Q：两个人坐在一张桌子的两边，轮流往桌子上放硬币，硬币不能重叠，谁放不下谁就输了。问先手有办法获胜吗？

A：先手把硬币放在桌子正中央，如果对方能放下硬币，自己就可以在对称的位置放下硬币，自己放不下硬币的前提是对方先放不下。

圆周上任取点在同一半圆内

Q：在圆周上任意取 n 个点，求这 n 个点都在同一半圆内的概率?

A：在 n 个点中选一个起始点，有 n 种取法。画出以起始点为端点的直径，剩下 n-1 个点都必须在直径的一侧，也就是 1/2 的概率，取 n-1 次就是 1/2^(n-1)。最终概率为 n/2^(n-1)。

变色龙

Q：某岛有三种变色龙，分别为红色，黄色，蓝色，三色分别有 13 条，15 条，17 条。当有两只变色龙相遇时，如果颜色不同，他们就变成第三种颜色。如红和黄相遇，都变成蓝色。问：是否可能所有的变色龙都变成同种颜色？

A：不妨假设最后都变成蓝色，则最后一次相遇前红色和黄色数量相同：

红色	黄色	蓝色
m	m	n

倒数第二步：

• 不可能是红色和黄色相遇，因为相遇后的数量相等，需要原来数量就相等，陷入死循环。
• 不妨令 k = m/2 只红色与蓝色相遇，则 m = 2k

红色	黄色	蓝色
m + m / 2	0	n + m / 2
3k	0	n + k

倒数第三步：

• 红色和黄色相遇

红色	黄色	蓝色
4k	k	n - k

• 黄色和蓝色相遇

红色	黄色	蓝色
k	k	n + 2k

结论：如果通过变换能得到 3k、0、n + k 的数量分布，则最终能变成同种颜色。

本题中的 13/15/17 无论如何变换，都得不到 3 的倍数，所以不能变为同种颜色。